Är det skillnad mellan att förstå differentiella ekvationer och att kunna lösa differentiella ekvationer?


Svar 1:
  • Vad betyder skillnadsekvationen? Var kom det ifrån? Varför tittar du på det? Hur använder du det? Det inkluderar innebörden av varje variabel. Differentialekvationer är viktiga eftersom de har så många applikationer. Hur löser du differensekvationen (om du kan)? Det här handlar om tekniker. Det finns några generella principer som kan användas för att lösa många av de mest användbara differentiella ekvationerna. Å andra sidan kan många mer komplicerade differentiella ekvationer inte lösas med analysmetoder. När finns det en lösning och hur hittar du den numeriskt? När det inte finns en analytisk lösning kan det fortfarande finnas en. Det finns existens- och unikhetssatser för differentiella ekvationer, och det finns numeriska metoder för att hitta dem.

Svar 2:

Paul Dirac ansåg att han inte "förstod en differentiell ekvation" såvida han inte kunde skissa ut den breda formen (eller formerna) som lösningarna kan ta, utan att faktiskt behöva ta till sig att lösa den antingen analytiskt eller numeriskt. Så efter Diracs recept skulle man försöka förstå grunderna i vad ekvationen säger om arten av förändringar i system som omfattas av ekvationen, innan man någonsin försöker lösa den. Alternativt om man redan har några lösningar bör man försöka syntetisera en sådan allmän förståelse från dem. Endera kommer antagligen att vara mycket lättare att uppnå med linjära differentiella ekvationer än med icke-linjära.


Svar 3:

Många löser kalkylfrågor efter algoritm. Du behöver ingen kunskap för att använda en algoritm.

En del av problemet är examensystemet. Du kan gå igenom en tentamen med hjälp av algoritm utan att förstå dem.

Problemet är att förståelse är mycket svårare att mäta än rätt svar.

Problemet är utan förståelse, du kan tillämpa fel algoritm.

Jag skulle föreslå att om du verkligen inte förstår saker, gå tillbaka till grunderna tills du gör det. Var aldrig nöjd med att få rätt svar. Förståelsen är matematiken.

Ett annat klassiskt område som folk löser med algoritm är kosinus. Försök att fråga någon vad det egentligen är och titta på dem vrika även om de får rätt svar.


Svar 4:

Många partiella differentiella ekvationer som har analytiska lösningar har förstått och kan lösas. De flesta differentiella ekvationer kan emellertid endast lösas med numeriska metoder. Istället för att "förstå differentiella ekvationer", tror jag att det är viktigare att veta var kom ekvationen kom ifrån.