I statistik vad är skillnaden mellan test av sannolikhetsgrad och generaliserat test för sannolikhetsgrad?


Svar 1:

I samband med parameterns uppskattning gäller sannolikhetsförhållandestestet (LRT) endast för enkla hypoteser medan generaliserat sannolikhetsförhållandestest (GLRT) kan användas när hypotesen inte är enkel. En enkel hypotes är en där parametern i fråga definieras uttryckligen.

Som ett exempel på att använda LRT, antar vi att vi antar att en population följer en normalfördelning

N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)

, och vi vill testa nollhypotesen

H0:μ=μ0H_0: \mu = \mu_0

och alternativ hypotes:

H1:μ=μ1H_1: \mu = \mu_1

. Sedan är LRT-teststatistiken

λ(X)=L(μ1X)L(μ2X).\lambda(X) = \frac{L(\mu_1|X)}{L(\mu_2|X)}.

Som ett exempel på att använda GLRT, antar vi att vi antar att en population följer en normalfördelning

N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)

, och vi vill testa nollhypotesen

H0:μ>0H_0: \mu > 0

och alternativ hypotes:

H1:μ0H_1: \mu \leq 0

. Observera att hypotesen som ska testas inte längre är enkel som den aktuella parametern (

μ\mu

) definieras inte uttryckligen som ett nummer som det var i exemplet ovan. I detta fall är GLRT-teststatistiken

λ(X)=supμΘL(μX)supμΘ0L(μX).\lambda(X) = \frac{\text{sup}_{\mu \in \Theta}{L(\mu|X)}}{\text{sup}_{\mu \in \Theta_0}{L(\mu|X)}}.

Intheaboveexpression,Θisthesetofallpossible[math]μ[/math]value(itiscalledtheparameterspace),and[math]Θ0[/math]isthesetofallpossible[math]μ[/math]valueswhere[math]μ>0[/math](thisisasubsetoftheparameterspace). In the above expression, \Theta is the set of all possible [math]\mu[/math] value (it is called the parameter space), and [math]\Theta_0[/math] is the set of all possible [math]\mu[/math] values where [math]\mu > 0[/math] (this is a subset of the parameter space).

I båda exemplen,

XX

är exempeldata som används för att uppskatta parametern

μ\mu

, och

LL

är sannolikhetsfunktionen.