I kvantteori, vad är skillnaden mellan ett korrekt blandat tillstånd och ett felaktigt blandat tillstånd?


Svar 1:

Så långt jag förstod det är ett ordentligt blandat tillstånd en statistisk kombination av rena tillstånd som alla är en del av experimentet, medan ett felaktigt blandat tillstånd är där en del av systemet inte längre är en del av experimentet (säg, en kosmisk stråle blir förvirrad med din kvbit och flyger bort - det du har kvar är ett felaktigt blandat tillstånd, eftersom du inte längre har tillgång till hela staten).

När jag studerade denna fråga fann jag detta - http: //arxiv.org/pdf/quant-ph/01 ... - som gör ett övertygande argument om att rätt blandade tillstånd är fysiskt omöjliga; du har bara rena tillstånd och felaktiga blandade tillstånd.

Om hur de är betydelsefulla för att förstå mätningen, måste vi vänta på att någon med några bh-kets ska skona; Jag är helt ute. Kanske Allan Steinhardt :)


Svar 2:

Skillnaden mellan korrekta och felaktiga blandade tillstånd är skillnaden mellan de som kan tolkas som härrör från okunnighet om det rena tillståndet (rätt blandningar), och de som inte kan tolkas så (felaktiga blandningar). Dessa felaktiga blandningar uppstår när du undersöker ett delsystem med ett större rent tillstånd.

Skillnaden är subtil, och jag känner inte till ett sätt att förklara det utan omfattande användning av apparaterna hos densitetsmatrisoperatörer. Och detta är en apparat som vanligtvis inte ingår i en första kurs i kvantmekanik. Så varnas, det här kan bli lite krispigt.

Tillräckligt med ursäkter, låt oss spricka.

Normalquantummechanicsdescribesasystemusingastatevector:ψ1.Andthisisfine,butitisntthemostgeneralsituation.Thereareatleasttwoimportantcircumstanceswherethisapproachcannotbeused:Normal quantum mechanics describes a system using a state vector: |\psi_{1}\rangle. And this is fine, but it isn't the most general situation. There are at least two important circumstances where this approach cannot be used:

  1. Där det råder osäkerhet om vilket av ett antal rena tillstånd det kan vara i. Där systemet är öppet (dvs det är en del av ett större system).

Vi börjar med att introducera täthetsoperatörer via den första situationen:

Okunnighet om systemets tillstånd ...

Letssaywehaveasetofpossiblestatesthatthesystemcanbein:ψ1,[math]ψ2,[/math][math]ψ3...[/math][math]ψn[/math],eachwithprobability[math]p1,p2,p2...,pn[/math].Thenwedefinethedensityoperator:Let's say we have a set of possible states that the system can be in: |\psi_{1}\rangle, [math]|\psi_{2}\rangle,[/math][math]|\psi_{3}\rangle...[/math][math]|\psi_{n}\rangle[/math], each with probability [math]p_{1}, p_{2}, p_{2}..., p_{n}[/math]. Then we define the density operator:

ρ=ipi[math]ψi[/math][math]ψi[/math]\rho = \sum_{i} p_{i}[math]|\psi_{i}\rangle \langle[/math][math]\psi_{i}|[/math]

Whichissimplythesumoftheprojectorsforeachofthestates,weighedbytheprobabilitythattheyareinthestate.ItsprettyeasytoseethatforanyobservableO:Which is simply the sum of the projectors for each of the states, weighed by the probability that they are in the state. It's pretty easy to see that for any observable O:

O=Tr(ρO)\langle O \rangle = Tr(\rho O)

Anditturnsout(thoughImnotgoingtoprovethis)thatthedensityoperatoristhemostgeneralwayofobtaininganymeasurablequantitywecancomeupwith.Aswellasbeingabletoexpressmixturesofpurestatesψi,italsohastheadvantageofbeingbasisindependent:thereisonlyonedensityoperatorforeachsystem(asopposedtomanyexpressionsintermsofpurestates).And it turns out (though I'm not going to prove this) that the density operator is the most general way of obtaining any measurable quantity we can come up with. As well as being able to express mixtures of pure states |\psi_{i}\rangle, it also has the advantage of being basis independent: there is only one density operator for each system (as opposed to many expressions in terms of pure states).

... eller som ett delsystem för ett större:

Tänk på ett intrasslat tillstånd (ett EPR / Bell-tillstånd för spin för detta exempel). Detta är ett rent tillstånd:

ψ=[math]12([/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math])[/math]|\psi\rangle =[math]\frac{1}{\sqrt{2}}([/math][math]|\uparrow[/math][math]\downarrow\rangle+ [/math][math]|\downarrow\uparrow[/math][math]\rangle)[/math]

Så densitetsmatrisen i detta rena tillstånd är helt enkelt:

ρfull=12([math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math])[/math][math][/math]\rho_{\text{full}}=\frac{1}{2}([math]|\uparrow[/math][math]\downarrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]\downarrow[/math][math]| +[/math][math]|\downarrow[/math][math]\uparrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]\uparrow[/math][math]| + [/math][math]|\uparrow[/math][math]\downarrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]\uparrow[/math][math]| + [/math][math]|\downarrow[/math][math]\uparrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]\downarrow[/math][math]| )[/math][math] [/math]

Men säg nu att vi bara får göra mätningar av den första elektronen. För att förstå vad detta skulle ge, utför vi en operation som kallas partiell spår (som effektivt är en metod för att spåra ut alla frihetsgrader som är förknippade med den andra partikeln) och erhålla en matris med reducerad densitet som sammanfattar alla möjliga observerbara för den första endast elektron:

ρimproper=12([math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math])[/math]\rho_{\text{improper}} = \frac{1}{2}([math]|\uparrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]| +[/math][math]|\downarrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]|[/math][math])[/math]

Hur man säger skillnaden ...

Här är crux: denna matris med reducerad densitet är lokalt oskiljbar från densitetsmatrisen som jag kunde få genom att vara helt okunnig om systemet var i rent tillstånd eller i rent tillstånd. Om jag tilldelade 50% sannolikhet för varje möjlighet skulle det resulterande korrekta blandade tillståndet se samma ut:

ρproper=12([math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math])[/math]\rho_{\text{proper}} = \frac{1}{2}([math]|\uparrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]| +[/math][math]|\downarrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]|[/math][math])[/math]

Andremember,thedensitymatrixencodestheresultsofalltheobservablesthatwemightgetfrommeasuringthissystem.Sotheyarelocallyindistinguishable.Butweknowthatinthecaseoftheρimproperthereisanotherentangledstateofthesystem,andBelltellsusthatthejointstatisticsofbothelectronscannotbereproducedbyanignoranceinterpretation(i.e.,by[math]ρproper[/math]).Andthisisthecriticaldifferencebetweentheproperandimpropermixtures.Butthisisadifferencethatyoucannotdetectunlessyouhaveaccesstothelargersystem.And remember, the density matrix encodes the results of all the observables that we might get from measuring this system. So they are locally indistinguishable. But we know that in the case of the \rho_{\text{improper}} there is another entangled state of the system, and Bell tells us that the joint statistics of both electrons cannot be reproduced by an ignorance interpretation (i.e., by [math]\rho_{\text{proper}}[/math]). And this is the critical difference between the proper and improper mixtures. But this is a difference that you cannot detect unless you have access to the larger system.

Varför är de viktiga vid mätningen?

Vi kan se detta genom att tillämpa dessa lektioner på processen med decoherence.

I decoherence förvirras ett kvantsystem med mätapparatsystemet, och interferensbetingelserna (dvs alla de som inte är i diagonalen på "pekaren" -basen för den mätanordningen) försvinner snabbt (nästan till noll).

Du kan sedan ta delvis spår för att titta på matrisen med reducerad densitet för systemet. Och precis som i exemplet ovan kan denna matris med reducerad densitet inte skiljas från densitetsmatrisen som framställts av någon som helt enkelt är okunnig om vilket rent pekartillstånd de hade förberett systemet i.

Så man kan frestas att säga att mätproblemet har lösts! Låt oss bara tolka matrisen med reducerad densitet som en ren blandning - det vill säga som vår okunnighet om pekarens position. Vi kan sedan ta reda på det genom att titta på pekaren.

Men detta tolkar en felaktig blandning som om det vore en riktig blandning.

Eller uttryckt på ett annat sätt, det är att tolka ett "och" som ett "eller". Alla pekarens rena tillstånd befinner sig fortfarande i den större vågfunktionen (dvs i det kompletta systemet), och vi måste visa varför de andra försvinner (och kom ihåg att denna försvinnande strider mot enhetlig utveckling). Det har vi inte gjort ännu.

Vad menar människor när de säger att decoherence löser mätproblemet?

Nu om du är en Everettian / många världar person, detta lämnar dig exakt där du vill vara. Du kan helt acceptera att decoherence ger en "och", inte en "eller" i matrisen med reducerad densitet. Everettian / många världar människor kan ta den slutsatsen helt på allvar och tolka matrisen med reducerad densitet som att uttrycka vad "du" ser i din gren, men accepterar absolut att alla andra pekarstater realiseras också.

Alla som INTE accepterar Everett måste lägga till en redogörelse för hur endast ett pekartillstånd väljs från matrisen med reducerad densitet (till och med skolan "stäng upp och beräkna" måste göra det, även om de antagligen säger "Tyst och välj en med en sannolikhet som ges av Born-regeln. ")

Problemet är att det finns vissa som verkar argumentera på allvar att decoherence löser mätproblemet på egen hand. Om man tar dem till sitt ord, motsvarar det att man åtog sig Everett-tolkningen. Men det är ibland svårt att förstå om de stillsamt accepterar Everett / Many världsbilden, eller just har gjort misstaget att sammanföra rätt och felaktiga blandningar.


Svar 3:

Skillnaden mellan korrekta och felaktiga blandade tillstånd är skillnaden mellan de som kan tolkas som härrör från okunnighet om det rena tillståndet (rätt blandningar), och de som inte kan tolkas så (felaktiga blandningar). Dessa felaktiga blandningar uppstår när du undersöker ett delsystem med ett större rent tillstånd.

Skillnaden är subtil, och jag känner inte till ett sätt att förklara det utan omfattande användning av apparaterna hos densitetsmatrisoperatörer. Och detta är en apparat som vanligtvis inte ingår i en första kurs i kvantmekanik. Så varnas, det här kan bli lite krispigt.

Tillräckligt med ursäkter, låt oss spricka.

Normalquantummechanicsdescribesasystemusingastatevector:ψ1.Andthisisfine,butitisntthemostgeneralsituation.Thereareatleasttwoimportantcircumstanceswherethisapproachcannotbeused:Normal quantum mechanics describes a system using a state vector: |\psi_{1}\rangle. And this is fine, but it isn't the most general situation. There are at least two important circumstances where this approach cannot be used:

  1. Där det råder osäkerhet om vilket av ett antal rena tillstånd det kan vara i. Där systemet är öppet (dvs det är en del av ett större system).

Vi börjar med att introducera täthetsoperatörer via den första situationen:

Okunnighet om systemets tillstånd ...

Letssaywehaveasetofpossiblestatesthatthesystemcanbein:ψ1,[math]ψ2,[/math][math]ψ3...[/math][math]ψn[/math],eachwithprobability[math]p1,p2,p2...,pn[/math].Thenwedefinethedensityoperator:Let's say we have a set of possible states that the system can be in: |\psi_{1}\rangle, [math]|\psi_{2}\rangle,[/math][math]|\psi_{3}\rangle...[/math][math]|\psi_{n}\rangle[/math], each with probability [math]p_{1}, p_{2}, p_{2}..., p_{n}[/math]. Then we define the density operator:

ρ=ipi[math]ψi[/math][math]ψi[/math]\rho = \sum_{i} p_{i}[math]|\psi_{i}\rangle \langle[/math][math]\psi_{i}|[/math]

Whichissimplythesumoftheprojectorsforeachofthestates,weighedbytheprobabilitythattheyareinthestate.ItsprettyeasytoseethatforanyobservableO:Which is simply the sum of the projectors for each of the states, weighed by the probability that they are in the state. It's pretty easy to see that for any observable O:

O=Tr(ρO)\langle O \rangle = Tr(\rho O)

Anditturnsout(thoughImnotgoingtoprovethis)thatthedensityoperatoristhemostgeneralwayofobtaininganymeasurablequantitywecancomeupwith.Aswellasbeingabletoexpressmixturesofpurestatesψi,italsohastheadvantageofbeingbasisindependent:thereisonlyonedensityoperatorforeachsystem(asopposedtomanyexpressionsintermsofpurestates).And it turns out (though I'm not going to prove this) that the density operator is the most general way of obtaining any measurable quantity we can come up with. As well as being able to express mixtures of pure states |\psi_{i}\rangle, it also has the advantage of being basis independent: there is only one density operator for each system (as opposed to many expressions in terms of pure states).

... eller som ett delsystem för ett större:

Tänk på ett intrasslat tillstånd (ett EPR / Bell-tillstånd för spin för detta exempel). Detta är ett rent tillstånd:

ψ=[math]12([/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math])[/math]|\psi\rangle =[math]\frac{1}{\sqrt{2}}([/math][math]|\uparrow[/math][math]\downarrow\rangle+ [/math][math]|\downarrow\uparrow[/math][math]\rangle)[/math]

Så densitetsmatrisen i detta rena tillstånd är helt enkelt:

ρfull=12([math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math])[/math][math][/math]\rho_{\text{full}}=\frac{1}{2}([math]|\uparrow[/math][math]\downarrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]\downarrow[/math][math]| +[/math][math]|\downarrow[/math][math]\uparrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]\uparrow[/math][math]| + [/math][math]|\uparrow[/math][math]\downarrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]\uparrow[/math][math]| + [/math][math]|\downarrow[/math][math]\uparrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]\downarrow[/math][math]| )[/math][math] [/math]

Men säg nu att vi bara får göra mätningar av den första elektronen. För att förstå vad detta skulle ge, utför vi en operation som kallas partiell spår (som effektivt är en metod för att spåra ut alla frihetsgrader som är förknippade med den andra partikeln) och erhålla en matris med reducerad densitet som sammanfattar alla möjliga observerbara för den första endast elektron:

ρimproper=12([math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math])[/math]\rho_{\text{improper}} = \frac{1}{2}([math]|\uparrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]| +[/math][math]|\downarrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]|[/math][math])[/math]

Hur man säger skillnaden ...

Här är crux: denna matris med reducerad densitet är lokalt oskiljbar från densitetsmatrisen som jag kunde få genom att vara helt okunnig om systemet var i rent tillstånd eller i rent tillstånd. Om jag tilldelade 50% sannolikhet för varje möjlighet skulle det resulterande korrekta blandade tillståndet se samma ut:

ρproper=12([math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math])[/math]\rho_{\text{proper}} = \frac{1}{2}([math]|\uparrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]| +[/math][math]|\downarrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]|[/math][math])[/math]

Andremember,thedensitymatrixencodestheresultsofalltheobservablesthatwemightgetfrommeasuringthissystem.Sotheyarelocallyindistinguishable.Butweknowthatinthecaseoftheρimproperthereisanotherentangledstateofthesystem,andBelltellsusthatthejointstatisticsofbothelectronscannotbereproducedbyanignoranceinterpretation(i.e.,by[math]ρproper[/math]).Andthisisthecriticaldifferencebetweentheproperandimpropermixtures.Butthisisadifferencethatyoucannotdetectunlessyouhaveaccesstothelargersystem.And remember, the density matrix encodes the results of all the observables that we might get from measuring this system. So they are locally indistinguishable. But we know that in the case of the \rho_{\text{improper}} there is another entangled state of the system, and Bell tells us that the joint statistics of both electrons cannot be reproduced by an ignorance interpretation (i.e., by [math]\rho_{\text{proper}}[/math]). And this is the critical difference between the proper and improper mixtures. But this is a difference that you cannot detect unless you have access to the larger system.

Varför är de viktiga vid mätningen?

Vi kan se detta genom att tillämpa dessa lektioner på processen med decoherence.

I decoherence förvirras ett kvantsystem med mätapparatsystemet, och interferensbetingelserna (dvs alla de som inte är i diagonalen på "pekaren" -basen för den mätanordningen) försvinner snabbt (nästan till noll).

Du kan sedan ta delvis spår för att titta på matrisen med reducerad densitet för systemet. Och precis som i exemplet ovan kan denna matris med reducerad densitet inte skiljas från densitetsmatrisen som framställts av någon som helt enkelt är okunnig om vilket rent pekartillstånd de hade förberett systemet i.

Så man kan frestas att säga att mätproblemet har lösts! Låt oss bara tolka matrisen med reducerad densitet som en ren blandning - det vill säga som vår okunnighet om pekarens position. Vi kan sedan ta reda på det genom att titta på pekaren.

Men detta tolkar en felaktig blandning som om det vore en riktig blandning.

Eller uttryckt på ett annat sätt, det är att tolka ett "och" som ett "eller". Alla pekarens rena tillstånd befinner sig fortfarande i den större vågfunktionen (dvs i det kompletta systemet), och vi måste visa varför de andra försvinner (och kom ihåg att denna försvinnande strider mot enhetlig utveckling). Det har vi inte gjort ännu.

Vad menar människor när de säger att decoherence löser mätproblemet?

Nu om du är en Everettian / många världar person, detta lämnar dig exakt där du vill vara. Du kan helt acceptera att decoherence ger en "och", inte en "eller" i matrisen med reducerad densitet. Everettian / många världar människor kan ta den slutsatsen helt på allvar och tolka matrisen med reducerad densitet som att uttrycka vad "du" ser i din gren, men accepterar absolut att alla andra pekarstater realiseras också.

Alla som INTE accepterar Everett måste lägga till en redogörelse för hur endast ett pekartillstånd väljs från matrisen med reducerad densitet (till och med skolan "stäng upp och beräkna" måste göra det, även om de antagligen säger "Tyst och välj en med en sannolikhet som ges av Born-regeln. ")

Problemet är att det finns vissa som verkar argumentera på allvar att decoherence löser mätproblemet på egen hand. Om man tar dem till sitt ord, motsvarar det att man åtog sig Everett-tolkningen. Men det är ibland svårt att förstå om de stillsamt accepterar Everett / Many världsbilden, eller just har gjort misstaget att sammanföra rätt och felaktiga blandningar.