Svaret är 22.

Låt de två siffrorna vara x och y.

De angivna villkoren är:

• Summan av kvadraten med två siffror är 80.x² + y² = 80Förskjutningens kvadrat mellan de två siffrorna är 36. (xy) ² = 36x²-2xy + y² = 36

Ta det andra villkoret och erhålla ett värde för x².

• -X 2xy + 2xy + Y ^-Y ^ = 36 + 2xy-y²x² = -y² + 2xy + 36

Byt ut x² i det första tillståndet med det härledda värdet.

• x² + y² = 80 (-y² + 2xy + 36) + y² = 80y²-y² + 2xy + 36 = 802xy + 36–36 = 80–362xy ÷ 2 = 44 ÷ 2xy = 22

Således är produkten av de två siffrorna (x, y) 22.

Första villkoret:

$a^2+b^2=80$

Andra villkor:

$(a-b)^2=36$

Från andra tillstånd:

$a^2-2ab+b^2=36$

.

Ersätter första villkoret:

$80-2ab=36$

, omorganisation

$2ab=80-36=44$

Så

$2ab=44$

och

$ab=22$

.

Svaret: produkten är 22.

Om du vill lösa hela systemet: skillnaden är

$\sqrt{36}=6$

och produkten är

$22$

, så för

$a>b$

,

$(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab$

. Så om vi får lösningarna för

$x^2+6x-22=0$

vi kan lösa problemet.

Lösningen för

$x^2+6x-22=0$

är

$x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+88}}{2}=-3\pm\sqrt{31}$

. Så

$a=\sqrt{31}+3$

och

$b=\sqrt{31}-3$

.

Det är lätt att bevisa att dessa två siffror uppfyller villkoren för frågan och svaret.

Första villkoret:

$a^2+b^2=80$

$\sqrt{31}+3~,~\sqrt{31}-3$

$(a-b)^2=36$

$31-9=22$

$a^2-2ab+b^2=36$

$-\sqrt{31}+3~,~-\sqrt{31}-3$

Ersätter första villkoret:

$31–9=22$

, omorganisation

$x^2+y^2=80$

Så

$(x-y)^2=x^2–2xy-y^2=36$

och

$ab=22$

$2xy=44$

$xy = 22$

Om du vill lösa hela systemet: skillnaden är

$\sqrt{36}=6$

och produkten är

$22$

, så för

$a>b$

,

$(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab$

. Så om vi får lösningarna för

$x^2+6x-22=0$

vi kan lösa problemet.

Lösningen för

$x^2+6x-22=0$

är

$x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+88}}{2}=-3\pm\sqrt{31}$

. Så

$a=\sqrt{31}+3$

och

$b=\sqrt{31}-3$

.

Det är lätt att bevisa att dessa två siffror uppfyller villkoren för frågan och svaret.