Om summan av kvadraterna med två siffror är 80 och kvadratet på skillnaden mellan de två siffrorna är 36, vad är produkten av två siffror?


Svar 1:

Svaret är 22.

Låt de två siffrorna vara x och y.

De angivna villkoren är:

  • Summan av kvadraten med två siffror är 80.x² + y² = 80Förskjutningens kvadrat mellan de två siffrorna är 36. (xy) ² = 36x²-2xy + y² = 36

Ta det andra villkoret och erhålla ett värde för x².

  • -X 2xy + 2xy + Y ^-Y ^ = 36 + 2xy-y²x² = -y² + 2xy + 36

Byt ut x² i det första tillståndet med det härledda värdet.

  • x² + y² = 80 (-y² + 2xy + 36) + y² = 80y²-y² + 2xy + 36 = 802xy + 36–36 = 80–362xy ÷ 2 = 44 ÷ 2xy = 22

Således är produkten av de två siffrorna (x, y) 22.


Svar 2:

Första villkoret:

a2+b2=80a^2+b^2=80

Andra villkor:

(ab)2=36(a-b)^2=36

Från andra tillstånd:

a22ab+b2=36a^2-2ab+b^2=36

.

Ersätter första villkoret:

802ab=3680-2ab=36

, omorganisation

2ab=8036=442ab=80-36=44

2ab=442ab=44

och

ab=22ab=22

.

Svaret: produkten är 22.

Om du vill lösa hela systemet: skillnaden är

36=6\sqrt{36}=6

och produkten är

2222

, så för

a>ba>b

,

(x+a)(xb)=x2+(ab)xab(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab

. Så om vi får lösningarna för

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

vi kan lösa problemet.

Lösningen för

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

är

x=6±36+882=3±31x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+88}}{2}=-3\pm\sqrt{31}

. Så

a=31+3a=\sqrt{31}+3

och

b=313b=\sqrt{31}-3

.

Det är lätt att bevisa att dessa två siffror uppfyller villkoren för frågan och svaret.


Svar 3:

Första villkoret:

a2+b2=80a^2+b^2=80

31+3 , 313\sqrt{31}+3~,~\sqrt{31}-3

(ab)2=36(a-b)^2=36

319=2231-9=22

a22ab+b2=36a^2-2ab+b^2=36

31+3 , 313-\sqrt{31}+3~,~-\sqrt{31}-3

Ersätter första villkoret:

319=2231–9=22

, omorganisation

x2+y2=80x^2+y^2=80

(xy)2=x22xyy2=36(x-y)^2=x^2–2xy-y^2=36

och

ab=22ab=22

2xy=442xy=44

xy=22xy = 22

Om du vill lösa hela systemet: skillnaden är

36=6\sqrt{36}=6

och produkten är

2222

, så för

a>ba>b

,

(x+a)(xb)=x2+(ab)xab(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab

. Så om vi får lösningarna för

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

vi kan lösa problemet.

Lösningen för

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

är

x=6±36+882=3±31x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+88}}{2}=-3\pm\sqrt{31}

. Så

a=31+3a=\sqrt{31}+3

och

b=313b=\sqrt{31}-3

.

Det är lätt att bevisa att dessa två siffror uppfyller villkoren för frågan och svaret.